|
Un spațiu vectorial (numit și spațiu liniar) este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adunați între ei și înmulțiți („scalați”) cu numere, denumite în acest context scalari. Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, din orice corp comutativ. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite axiome, enumerate mai jos.
Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a produce o a treia, și înmulțirea unui vector forță cu un factor de înmulțire real dă un alt vector forță. În același fel, dar într-un sens mai geometric, vectorii care reprezintă deplasări în plan sau în spațiul tridimensional formează și ei spații vectoriale. Vectorii din spațiile vectoriale nu trebuie să fie neapărat obiecte reprezentabile prin săgeți, așa cum apar în exemplele amintite: vectorii sunt considerați ca abstracții matematice, obiecte cu proprietăți speciale, care în unele cazuri pot fi reprezentate sub forma unor săgeți.
Spațiile vectoriale fac obiectul algebrei liniare și sunt bine caracterizate prin dimensiunea lor, care, aproximativ vorbind, specifică numărul de direcții independente în spațiu. Spații vectoriale infinit-dimensionale apar în mod natural în analiza matematică, ca spații de funcții, ale căror vectori sunt funcții. Aceste spații vectoriale sunt, în general, înzestrate cu o structură suplimentară, care poate fi o topologie, care să permită luarea în considerare a aspectelor de proximitate și de continuitate. Printre aceste topologii, cele definite printr-o normă sau produs scalar sunt mai frecvent utilizate, ca având o noțiune de distanță dintre doi vectori. Este în special cazul spațiilor Banach și spațiilor Hilbert, care sunt fundamentale în analiza matematică.
Din punct de vedere istoric, primele idei care au condus la noțiunea de spațiu vectorial pot fi găsite în geometria analitică, matricile, sistemele de ecuații liniare, și vectorii euclidieni din secolul al XVII-lea. Abordarea modernă, mai abstractă, formulată pentru prima dată de către Giuseppe Peano în 1888, cuprinde obiecte mai generale decât spațiul euclidian, dar o mare parte din teorie poate fi văzută ca o extensie ideilor din geometria clasică, cum ar fi drepte, planuri și analogii în dimensiuni superioare.
Astăzi, spațiile vectoriale au aplicații în toată matematica, în științe și inginerie. Acestea sunt noțiunile liniar-algebrice adecvate pentru a trata sisteme de ecuații liniare; a oferi un cadru pentru dezvoltarea în serie Fourier, utilizată în rutinele de compresie a imaginilor; sau a oferi un mediu care poate fi folosit pentru tehnici de rezolvare a ecuațiilor cu derivate parțiale. Mai mult, spațiile vectoriale furnizează o modalitate abstractă, independentă de coordonate, de a trata obiecte fizice sau geometrice, cum ar fi tensorii. Aceasta, la rândul său, permite examinarea proprietăților locale ale varietăților prin tehnici de liniarizare. Spațiile vectoriale pot fi generalizate în mai multe moduri, ceea ce duce la mai multe noțiuni avansate în geometrie și algebra abstractă.
|
